Годинник для справжнього математика
ШПАРГАЛКА З МАТЕМАТИКИ.
Ознаки подільності.
На 2: Якщо остання цифра числа ділиться на 2, то число ділиться на 2.
На 5: Якщо остання цифра числа 0 або 5, то число ділиться на 5.
На 10: Якщо остання цифра числа 0,то число ділиться на 10.
На 3: Якщо сума цифр числа ділиться на 3, то число ділиться на 3.
На 9: Якщо сума цифр числа ділиться на 9, то число ділиться на 9.
На 4: Якщо останні дві цифри є числом, кратним 4 (або два нуля), то число ділиться на 4.
Наприклад. 23.312 : 4, 7.308 : 4, 275.600 : 4.
На 6: Якщо число кратне 3 і парне, то воно ділиться на 6.
Наприклад. 714 : 6, 2.526 : 6.
На 15: Якщо число кратне 3 і 5, то воно ділиться на 15.
Примеры. 8.715 : 15, 2.520 : 15.
На 8: Якщо останні три цифри є числом, кратним 8 (або три нуля), то число ділиться на 8.
Наприклад. 7848 : 8, 92024 : 8, 3008 : 8, 3640 : 8, 75000 : 8.
На 25: Якщо останні дві цифри є числом, кратним 25 (або два нуля), то число ділиться на 25.
Наприклад. 325 : 25, 7.350 : 25, 275.600 : 25.
На 11: Якщо сума цифр числа, що займають непарні місця і сума цифр,
що займають парні місця, рівні або відрізняються на число, кратне 11, то число ділиться на 11.
Наприклад. 746 526 (4+5+6=15, 7+6+2=15), 746 526 : 11
281 446 (8+4+6=18, 2+1+4= 7, 18−7=11:11), 281 446 : 11
28 193 209 (8+9+2+9=28, 2+1+3+0=6, 28−6=22:
11), 28 193 209:11
Формули скороченого множення
Формула
Формулювання
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Квадрат суми двох чисел дорівнює сумі квадратів цих чисел плюс подвоєний добуток першого числа на друге.
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Квадрат різниці двох чисел дорівнює сумі квадратів цих чисел мінус подвоєний добуток першого числа на друге.
(а + b + с)2 =
= а2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Квадрат суми трьох чисел дорівнює сумі квадратів цих чисел плюс всі можливі подвоєні добутки.
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
Різниця квадратів двох чисел дорівнює добутку суми цих чисел і їх різниці.
(a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3
Куб суми двох чисел дорівнює кубу першого числа плюс потроєний добуток квадрата першого числа на друге плюс потроєний добуток першого числа на квадрат другого і плюс куб другого числа.
(a – b)3 = a3 – 3a2b +3ab2 – b3
Куб різниці двох чисел дорівнює кубу першого числа мінус потроєний добуток квадрата першого числа на друге плюс потроєний добуток першого числа на квадрат другого і мінус куб другого числа.
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
Сума кубів двох чисел дорівнює добутку суми цих чисел на неповний квадрат їх різниці.
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Різниця кубів двох чисел дорівнює добутку різниці цих чисел на неповний квадрат їх суми.
Тригонометричні формули.
Формули залежності між синусом, косинусом і тангенсом одного кута.
Формули подвійного кута.
; 
; 
Формули додавання.
Формули половинного кута.
; 
;
Сума і різниця синусів. Сума і різниця косинусів.
Формули добутку.
Тригонометричні рівняння
-
cos x = a ; де a
[–1; 1]
x = 
arccos a + 2πk, kZ arccos(–a) = π – arccos a
Особливі випадки:
cos x = 0 ; 
cos(arccos a) = a ; a[–1; 1]
cos x = 1 ; 
arccos(cos
)=; 
cos x = –1; 
-
sin x = a; де a[–1; 1]
x = (–1)karcsin a + πk, kZ arcsin(–a) = –arcsin a
Особливі випадки:
sin x = 0 ; 
sin(arcsin a) = a; a[–1; 1]
sin x = 1 ; 
arcsin(sin) = ; 
sin x = –1; 
-
tg x = a
x = arctg a + πk; kZ arctg(–a) = –arctg a
tg(arctg a) = a; a Z
arctg(tg) = ; 
Логарифми.
Основна логарифмічна тотожність:
b>0, a>0, a
1
Властивості логарифмів:
a>0, a1, b>0, c>0, r
R
, 
Таблиця первісних
Функція.
Первісна.
ex
ex+C
sin x
– cosx +C
cos x
sinx + C
sin(kx + b), 
cos(kx+b),
tgx + C
−ctgx + C
Геометричний зміст похідної.
Рівняння дотичної.
Геометричний зміст похідної
Фізичний зміст похідної.
Область визначення функцій.
D(y): x R
D(y): xR,
За виключенням одного або декількох значень.
Область визначення задається нерівністю.
y = 2x2+6x –
Квадратична функція
y = 
, x≠0
Функція оберненої пропорційности 
y = 
; x ≥ 0
Функція квадратного кореня
y = –2x +3
Лінійна функція
y =
, x≠–2
y = 
; x ≥ 6
y = x6+2x
y = 
, 
y = 
; x ≥ 0
Степенева функція, показник – додатнє неціле число
y = 
y = х–2, x≠0
Степенева функція, показник –від’ємне ціле число
y = 
; x – 2 ≥0
y=
y = х–5, x≠0
y =
; x2–9 ≥ 0
y = 
y = (х+3)–4 , 
y =
; x > 0
Степенева функція, показник –від’ємне неціле число
y = 
y = (х2 – 9)–3, 
y =
; x + 5 >0
y =
y=
y =
;
x2–16 > 0
y = 
y = 
,
(x +3)2 > 0
Показникова функція
у = ах
Логарифмічна функція
y=logax; x>0
y=lg x; x>0
y=ln x; x>0
Тригонометричні функції
у=cos x,
y=sin x
у=tg x, x≠
у=ctg x, x≠ πx
Годинник для справжнього математика
ШПАРГАЛКА З МАТЕМАТИКИ.
11), 28 193 209:11
Формула
|
Формулювання
|
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
|
Квадрат суми двох чисел дорівнює сумі квадратів цих чисел плюс подвоєний добуток першого числа на друге.
|
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
|
Квадрат різниці двох чисел дорівнює сумі квадратів цих чисел мінус подвоєний добуток першого числа на друге.
|
(а + b + с)2 =
= а2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
|
Квадрат суми трьох чисел дорівнює сумі квадратів цих чисел плюс всі можливі подвоєні добутки.
|
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
|
Різниця квадратів двох чисел дорівнює добутку суми цих чисел і їх різниці.
|
(a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3
|
Куб суми двох чисел дорівнює кубу першого числа плюс потроєний добуток квадрата першого числа на друге плюс потроєний добуток першого числа на квадрат другого і плюс куб другого числа.
|
(a – b)3 = a3 – 3a2b +3ab2 – b3
|
Куб різниці двох чисел дорівнює кубу першого числа мінус потроєний добуток квадрата першого числа на друге плюс потроєний добуток першого числа на квадрат другого і мінус куб другого числа.
|
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
|
Сума кубів двох чисел дорівнює добутку суми цих чисел на неповний квадрат їх різниці.
|
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
|
Різниця кубів двох чисел дорівнює добутку різниці цих чисел на неповний квадрат їх суми.
|
; ; ; ;
cos x = a ; де a[–1; 1]
[–1; 1]arccos a + 2πk, kZ arccos(–a) = π – arccos a cos(arccos a) = a ; a[–1; 1] arccos(cos)=;
sin x = a; де a[–1; 1]
[–1; 1]Z arcsin(–a) = –arcsin a sin(arcsin a) = a; a[–1; 1] arcsin(sin) = ;
tg x = a
Z arctg(–a) = –arctg aZ) = ; 1 1, b>0, c>0, r R ,
Функція.
|
Первісна.
|
| |
| |
ex
|
ex+C
|
sin x
|
– cosx +C
|
cos x
|
sinx + C
|
| |
| |
| |
sin(kx + b),
| |
cos(kx+b),
| |
|
tgx + C
|
|
−ctgx + C
|
D(y): x
R |
D(y): x
R,
За виключенням одного або декількох значень.
|
Область визначення задається нерівністю.
|
y = 2x2+6x –
Квадратична функція
|
y =
, x≠0
Функція оберненої пропорційности
|
y =
; x ≥ 0
Функція квадратного кореня
|
y = –2x +3
Лінійна функція
|
y =
, x≠–2 |
y =
; x ≥ 6 |
y = x6+2x
|
y =
, |
y =
; x ≥ 0
Степенева функція, показник – додатнє неціле число
|
y =
|
y = х–2, x≠0
Степенева функція, показник –від’ємне ціле число
|
y =
; x – 2 ≥0 |
y=
|
y = х–5, x≠0
|
y =
; x2–9 ≥ 0 |
y =
|
y = (х+3)–4 ,
|
y =
; x > 0
Степенева функція, показник –від’ємне неціле число
|
y =
|
y = (х2 – 9)–3,
|
y =
; x + 5 >0 |
y =
|
y=
|
y =
;
x2–16 > 0
|
y =
|
y =
,
(x +3)2 > 0
| |
Показникова функція
у = ах
|
Логарифмічна функція
y=logax; x>0
y=lg x; x>0
y=ln x; x>0
| |
Тригонометричні функції
| ||
у=cos x,
y=sin x
|
у=tg x, x≠
у=ctg x, x≠ πx
| |
Немає коментарів:
Дописати коментар